Soal Jawab Persamaan Kuadrat Standar UTS, UAS, US Tingkat SMK, SMA

Pada kesempatan ini ilmu sains akan membahas mengenai keilmuan matematika tentang Persamaan Kuadrat.

Kita akan belajar mengenai akar-akar persamaan kuadrat, jenis akar persamaan kuadrat dan menyusun persamaan kuadrat.

Petunjuk
Rumus-rumus ditulis menggunakan $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup agar bisa me-loading kode $\LaTeX$  100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page

persamaan kuadrat ilmu sains ragilpriya


Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar dari Persamaan Kuadrat $x^{2}-6x+5=0$ adalah ... .

Penyelesaian

Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah sebagai berikut : \[ax^{2}+bx+c=0\] Ada tiga cara dalam menentukan akar - akar suatu persamaan kuadrat, yaitu :
  • 1. Faktorisasi
  • 2. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
  • 3. Rumus abc
Cara faktorisasi sendiri ada dua, yaitu yang memiliki nilai $a=1$ dan $a\neq 1$.

Dari soal, yaitu $x^{2}-6x+5=0$, maka kalau kita uraikan nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ nya adalah :

$a=1$  ,  $b=-6$ ,  $c=5$

Kali ini kita akan mencoba menyelesaikan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara faktorisasi.

Faktorkan $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk $(x+x_{1})(x+x_{2})=0$.

Caranya adalah sebagai berikut. Pertama cari lah dua bilangan yang hasil kalinya adalah $c=5$ dan hasil penjumlahannya adalah $b=-6$.

Gunakan imajinasi kalian.

Untuk soal ini kita peroleh kedua bilangan tersebut yaitu, $-5$ dan $-1$

Kedua bilangan ini adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ pada bentuk $(x+x_{1})(x+x_{2})=0$.

Setelah kita substitusikan, bentuknya menjadi 

$(x-5)(x-1)=0$

$\Leftrightarrow x-5=0\,\,\,atau\,\,\,x-1=0$ 

$\Leftrightarrow x=5\,\,\,atau\,\,\,x=1$ 

Jadi akar-akar persamaan kuadrat dari  $x^{2}-6x+5=0$ adalah $x=5$ dan $x=1$.


Contoh 2 : 
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}+2x-5=0$

Penyelesaian

Uraikan terlebih dahulu nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ nya.

$a=3$  ,  $b=2$ ,  $c=-5$

Perhatikan bahwa nilai $a\neq 1$, maka kerjakan dengan langkah-langkah berikut.

Faktorkan $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk $\frac{(ax+x_{1})(ax+x_{2})}{a}=0$

Kemudian carilah dua bilangan yang yang hasil kalinya adalah $a.c=(3)(-5)=-15$ dan hasil penjumlahannya adalah $b=2$.

Bilangan yang memenuhi syarat adalah $-3$ dan $5$, sehingga

$3x^{2}+2x-5=0$

$\Leftrightarrow \frac{(3x+5)(3x-3)}{3}=0$

$\Leftrightarrow 3x+5=0\,\,\,atau\,\,\,3x-3=0$

$\Leftrightarrow 3x=-5\,\,\,atau\,\,\,3x=3$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\,\,\,atau\,\,\,x=1$

Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah $-\frac{5}{3}$ dan $x=1$ 

Sifat - Sifat atau Jenis Akar Persamaan Kuadrat dilihat dari Diskriminan
Sifat dari akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+9x+5=0$ adalah ... .

Penyelesaian

Jika kita perhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kadrat dengan menggunakan $rumus abc$, jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai $b^{2}-4ac$ .

Nilai dari $b^{2}-4ac$ disebut Diskriminan, yaitu \[D=b^{2}-4ac\]
Beberapa jenis akar persamaan kuadrat berdasar nilai $D$
  • Jika $D> 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda
  • Jika $D= 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama atau kembar
  • Jika $D< 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki akar tidak real atau imajiner
Kembali ke soal di atas,

Nilai $a=2$, $b=9$ dan $c=5$

Maka,

$D=b^{2}-4ac$

$\Leftrightarrow D=9^{2}-4.2.5$

$\Leftrightarrow D=41$

Oleh karena nilai diskriminan lebih besar dari nol maka, $2x^{2}+9x+5=0$ memiliki aka-akar yang real dan berbeda.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar dari persamaan $3x^{2}-2x-1=0$, nilai dari $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}.x_{2}$ adalah …

Penyelesaian

Dari mencari akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara $rumus abc$, jika kedua akar tersebut dijumlahkan dan dikalikan, maka akan diperoleh rumus \[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\]\[x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\]

Kembali ke soal di atas, diperoleh data $a=3$, $b=-2$ dan $c=-1$

Maka

$\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$

$\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{-1}{3}$

Bentuk turunan dari penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat yang sering muncul pada soal ujian antara lain

$\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$

$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2.(x_{1}.x_{2})$

$\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3.(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})$

Contoh 2
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^{2}-2x+6=0$, nilai dari $\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}$ adalah ... .

Penyelesaian

 $a=1$, $b=-2$ dan $c=6$

Gunakan dan modifikasi persamaan/rumus tambahan yang pertama di atas akan diperoleh

$\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}=\frac{3(x_{1}+x_{2})}{x_{1}.x_{2}}=\frac{3(2/1)}{(6/1)}=1$


Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $1$ dan $– 3$ adalah … .


Penyelesaian

Terdapat dua cara untuk menyusun peersamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya.

Cara I

Dengan menggunakan rumus perkalian faktor.

Misalkan $x_{1}=1$ dan $x_{2}=-3$, persamaan kuadratnya

$\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (x-1)(x+3)=0$

Tips : Lakukan operasi dari bagian -bagian kedua dalam kurung di atas $\Rightarrow $ (depan x depan) + (depan x belakang) + (belakang x depan) + belakang x belakang)

$\displaystyle \Leftrightarrow x.x+3.x-1.x-1.3=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$

Jadi Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya $1$ dan $– 3$ adalah $\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$

Cara II

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah \[x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0\]

Misalkan $x_{1}=1$ dan $x_{2}=-3$

$\displaystyle (x_{1}+x_{2})=1-3=-2$ dan $\displaystyle (x_{1}.x_{2})=(1).(-3)=-3$ 

Jadi persamaan kuadratnya

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-(-2)x+(-3)=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$ 


Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasar Akar-akar Persamaan Kuadrat Lain
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}-2$ dan $x_{2}-2$ dari akar-akar persaman kuadrat $\displaystyle x^{2}+2x+12=0$ adalah … .

Penyelesaian

$\displaystyle x^{2}+2x+12=0$ maka, $a=1$, $b=2$ dan $c=12$

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $\displaystyle x^{2}+2x+12=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka

$\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$

$\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{12}{1}=12$

Kemudian, misal akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$ , maka

$\displaystyle \alpha = x_{1}-2$ dan $\displaystyle \beta =x_{2}-2$

Selanjutnya kita jumlahkan dan kalikan $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$, diperoleh

$\displaystyle \alpha +\beta =(x_{1}-2)+(x_{2}-2)$

$\displaystyle =x_{1}+x_{2}-4$

$\displaystyle =-2-4$

$\displaystyle =-6$


$\displaystyle \alpha .\beta =(x_{1}-2)(x_{2}-2)$

$\displaystyle =x_{1}.x_{2}-2.x_{1}-2.x_{2}+4$

$\displaystyle =x_{1}.x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4$

$\displaystyle =12-2.(-2)+4$

$\displaystyle =20$


Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$ adalah

$\displaystyle x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha .\beta =0$

$\displaystyle x^{2}-(-6)x+20 =0$

$\displaystyle x^{2}+6x+20=0$


Next : Fungsi Kuadrat

Soal Jawab Persamaan Kuadrat Standar UTS, UAS, US Tingkat SMK, SMA