Kita akan belajar mengenai akar-akar persamaan kuadrat, jenis akar persamaan kuadrat dan menyusun persamaan kuadrat.
Petunjuk
Rumus-rumus ditulis menggunakan $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup agar bisa me-loading kode $\LaTeX$ 100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page !
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar dari Persamaan Kuadrat $x^{2}-6x+5=0$ adalah ... .
Penyelesaian
Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah sebagai berikut : \[ax^{2}+bx+c=0\] Ada tiga cara dalam menentukan akar - akar suatu persamaan kuadrat, yaitu :
- 1. Faktorisasi
- 2. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
- 3. Rumus abc
Dari soal, yaitu $x^{2}-6x+5=0$, maka kalau kita uraikan nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ nya adalah :
$a=1$ , $b=-6$ , $c=5$
Kali ini kita akan mencoba menyelesaikan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara faktorisasi.
Faktorkan $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk $(x+x_{1})(x+x_{2})=0$.
Caranya adalah sebagai berikut. Pertama cari lah dua bilangan yang hasil kalinya adalah $c=5$ dan hasil penjumlahannya adalah $b=-6$.
Gunakan imajinasi kalian.
Untuk soal ini kita peroleh kedua bilangan tersebut yaitu, $-5$ dan $-1$
Kedua bilangan ini adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ pada bentuk $(x+x_{1})(x+x_{2})=0$.
Setelah kita substitusikan, bentuknya menjadi
$(x-5)(x-1)=0$
$\Leftrightarrow x-5=0\,\,\,atau\,\,\,x-1=0$
$\Leftrightarrow x=5\,\,\,atau\,\,\,x=1$
Jadi akar-akar persamaan kuadrat dari $x^{2}-6x+5=0$ adalah $x=5$ dan $x=1$.
Contoh 2 :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}+2x-5=0$
Penyelesaian
Uraikan terlebih dahulu nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ nya.
$a=3$ , $b=2$ , $c=-5$
Perhatikan bahwa nilai $a\neq 1$, maka kerjakan dengan langkah-langkah berikut.
Faktorkan $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk $\frac{(ax+x_{1})(ax+x_{2})}{a}=0$
Kemudian carilah dua bilangan yang yang hasil kalinya adalah $a.c=(3)(-5)=-15$ dan hasil penjumlahannya adalah $b=2$.
Contoh 2 :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}+2x-5=0$
Penyelesaian
Uraikan terlebih dahulu nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ nya.
$a=3$ , $b=2$ , $c=-5$
Perhatikan bahwa nilai $a\neq 1$, maka kerjakan dengan langkah-langkah berikut.
Faktorkan $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk $\frac{(ax+x_{1})(ax+x_{2})}{a}=0$
Kemudian carilah dua bilangan yang yang hasil kalinya adalah $a.c=(3)(-5)=-15$ dan hasil penjumlahannya adalah $b=2$.
Bilangan yang memenuhi syarat adalah $-3$ dan $5$, sehingga
$3x^{2}+2x-5=0$
$\Leftrightarrow \frac{(3x+5)(3x-3)}{3}=0$
$\Leftrightarrow 3x+5=0\,\,\,atau\,\,\,3x-3=0$
$\Leftrightarrow 3x=-5\,\,\,atau\,\,\,3x=3$
$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\,\,\,atau\,\,\,x=1$
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah $-\frac{5}{3}$ dan $x=1$
Sifat - Sifat atau Jenis Akar Persamaan Kuadrat dilihat dari Diskriminan
Sifat dari akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+9x+5=0$ adalah ... .
Penyelesaian
Jika kita perhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kadrat dengan menggunakan $rumus abc$, jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai $b^{2}-4ac$ .
Nilai dari $b^{2}-4ac$ disebut Diskriminan, yaitu \[D=b^{2}-4ac\]
Beberapa jenis akar persamaan kuadrat berdasar nilai $D$
- Jika $D> 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda
- Jika $D= 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama atau kembar
- Jika $D< 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki akar tidak real atau imajiner
Nilai $a=2$, $b=9$ dan $c=5$
Maka,
$D=b^{2}-4ac$
$\Leftrightarrow D=9^{2}-4.2.5$
$\Leftrightarrow D=41$
Oleh karena nilai diskriminan lebih besar dari nol maka, $2x^{2}+9x+5=0$ memiliki aka-akar yang real dan berbeda.
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar dari persamaan $3x^{2}-2x-1=0$, nilai dari $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}.x_{2}$ adalah …
Penyelesaian
Dari mencari akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara $rumus abc$, jika kedua akar tersebut dijumlahkan dan dikalikan, maka akan diperoleh rumus \[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\]\[x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\]
Kembali ke soal di atas, diperoleh data $a=3$, $b=-2$ dan $c=-1$
Maka
$\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$
$\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{-1}{3}$
Bentuk turunan dari penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat yang sering muncul pada soal ujian antara lain
$\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2.(x_{1}.x_{2})$
$\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3.(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})$
Contoh 2
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^{2}-2x+6=0$, nilai dari $\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}$ adalah ... .
Penyelesaian
$a=1$, $b=-2$ dan $c=6$
Gunakan dan modifikasi persamaan/rumus tambahan yang pertama di atas akan diperoleh
$\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}=\frac{3(x_{1}+x_{2})}{x_{1}.x_{2}}=\frac{3(2/1)}{(6/1)}=1$
Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $1$ dan $– 3$ adalah … .
Penyelesaian
Cara I
Dengan menggunakan rumus perkalian faktor.
Misalkan $x_{1}=1$ dan $x_{2}=-3$, persamaan kuadratnya
$\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x-1)(x+3)=0$
Tips : Lakukan operasi dari bagian -bagian kedua dalam kurung di atas $\Rightarrow $ (depan x depan) + (depan x belakang) + (belakang x depan) + belakang x belakang)
$\displaystyle \Leftrightarrow x.x+3.x-1.x-1.3=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$
Jadi Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya $1$ dan $– 3$ adalah $\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$
Cara II
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah \[x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0\]
Misalkan $x_{1}=1$ dan $x_{2}=-3$
$\displaystyle (x_{1}+x_{2})=1-3=-2$ dan $\displaystyle (x_{1}.x_{2})=(1).(-3)=-3$
Jadi persamaan kuadratnya
$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-(-2)x+(-3)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$
$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-(-2)x+(-3)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0$
Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasar Akar-akar Persamaan Kuadrat Lain
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}-2$ dan $x_{2}-2$ dari akar-akar persaman kuadrat $\displaystyle x^{2}+2x+12=0$ adalah … .
Penyelesaian
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $\displaystyle x^{2}+2x+12=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka
$\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
$\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{12}{1}=12$
Kemudian, misal akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$ , maka
$\displaystyle \alpha = x_{1}-2$ dan $\displaystyle \beta =x_{2}-2$
Selanjutnya kita jumlahkan dan kalikan $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$, diperoleh
$\displaystyle \alpha +\beta =(x_{1}-2)+(x_{2}-2)$
$\displaystyle =x_{1}+x_{2}-4$
$\displaystyle =-2-4$
$\displaystyle =-6$
$\displaystyle \alpha .\beta =(x_{1}-2)(x_{2}-2)$
$\displaystyle =x_{1}.x_{2}-2.x_{1}-2.x_{2}+4$
$\displaystyle =x_{1}.x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4$
$\displaystyle =12-2.(-2)+4$
$\displaystyle =20$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\displaystyle \alpha$ dan $\displaystyle \beta$ adalah
$\displaystyle x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha .\beta =0$
$\displaystyle x^{2}-(-6)x+20 =0$
$\displaystyle x^{2}+6x+20=0$
Next : Fungsi Kuadrat
