Soal Jawab Fungsi Kuadrat Standar UTS, UAS, US Tingkat SMK, SMA

Selamat datang kembali di ilmu sains. Sekarang kita akan membahas mengenai matematika tentang Fungsi Kuadrat.

Kita akan belajar mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, menentukan fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.

Petunjuk
Rumus-rumus ditulis menggunakan $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup agar bisa me-loading kode $\LaTeX$  100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page

fungsi kuadrat ilmu sains ragilpriya


Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Puncak dan Satu Titik Lainnya
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik $( -1, 9 )$ dan melalui titik $(3, - 7)$ adalah ... .

Penyelesaian

Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui titik puncak grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya menurut soal adalah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.

$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$

Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:

$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$

$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$

$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$

$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$

Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka

$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Nilai $m$ yang memenuhi agar grafik fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=x^{2}+mx+1$ menyinggung sumbu-$X$ adalah ...

Penyelesaian

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.

Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan memiliki nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.

Sebaliknya jika $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan memiliki nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$

Secara geometri, hubungan nilai diskriminan dengan sumbu $X$ adalah sebagai berikut
  • Jika $D>0$, maka grafik memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda
  • Jika $D=0$, maka grafik menyinggung sumbu $X$ di sebuah titik
  • Jika $D<0$, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu $X$
Untuk grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu $X$ memiliki sifat definit positif jika $a>0$ dan memiliki sifat definit negatif jika $a<0$.

Oleh karena pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik memiliki nilai diskriminan nol.

Sehingga

$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$

$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$

$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$

$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$

Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$

Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Dua Titik Potong Terhadap Sumbu $X$ dan Satu Titik Lain
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu $X$ di titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ dan memotong sumbu -$Y$ di titik $\displaystyle (0,3)$

Penyelesaian

Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut

$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi

$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$

Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi

$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$

$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$

Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga

$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$

$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.

Penerapan Fungsi Kuadrat
Lintasan sebuah peluru yang ditembakkan $h(t)$ vertikal ke atas setinggi $h$ meter dalam waktu $t$ detik dinyatakan dengan rumus $\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ . Tentukan tinggi maksimum peluru tersebut !

Penyelesaian

$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$

Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat memiliki peranan penting, salah satunya seperti pada soal.

Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.

Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.

Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu memiliki sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.

Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu

$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$

$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$

$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$

Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah $80$ meter.

Soal Jawab Fungsi Kuadrat Standar UTS, UAS, US Tingkat SMK, SMA