Kali ini akan dibahas mengenai keilmuan matematika khususnya tentang Matriks.
Kita akan belajar mengenai sifat-sifat matriks, operasi matriks, determinan, adjoint, kofaktor, dan invers matriks.
Petunjuk
Rumus-rumus ditulis menggunakan $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup agar bisa me-loading kode $\LaTeX$ 100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page !
Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
Diketahui $P=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ , $Q=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $R=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ . Tentukan nilai dari $3P-Q+2R$
Penyelesaian
Sifat perkalian antara bilangan / konstanta dengan sebuah matriks adalah sebagai berikut :
\[3\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a &3b \\ 3c &3d \end{pmatrix}\]
Kemudian sifat penjumlahan dan pengurangan matriks adalah sebagai berikut :\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} e &f \\ g &h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\pm e &b\pm f \\ c\pm g &d\pm h \end{pmatrix}\]
Sedangkan syaratnya dari operasi penjumlahan dan pengurangan matriks adalah, kedua matriks yang dioperasikan harus memiliki ordo yang sama.
Artinya, matriks A hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan matriks B hanya jika matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama, misal sama-sama berordo 2 x 2 atau sama-sama berordo 2 x 3.
Sedangkan syaratnya dari operasi penjumlahan dan pengurangan matriks adalah, kedua matriks yang dioperasikan harus memiliki ordo yang sama.
Artinya, matriks A hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan matriks B hanya jika matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama, misal sama-sama berordo 2 x 2 atau sama-sama berordo 2 x 3.
Kembali ke sola di atas, mari kita terapkan sifat-sifat dan syarat tersebut maka $3P-Q+2R$ adalah
$3\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
$3\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3.1 &3.3 \\ 3.5 &3(-3) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2.5 &2.1 \\ 2.2 &2.(-3) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3-1+10 &9+2+2 \\ 15-1+4 &-9-3-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3-1+10 &9+2+2 \\ 15-1+4 &-9-3-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
Jadi nilai dari operasi matriks $3P-Q+2R$ adalah $\begin{pmatrix} 12 &13 \\ 18 & -18 \end{pmatrix}$
Perkalian Matriks
Tentukan hasil dari perkalian matriks $\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Perhatikan kembali syarat perkalian dua matriks. Hasil kali matriks A yang berordo m x n dengan matriks B yang berordo n x p adalah sebuah matriks C yang berordo m x p.
Artinya operasi perkalian matriks hanya bisa berjalan bila Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks ke dua.
\[A_{mxn}.B_{nxp}=C_{mxp}\]
Pengetahuan ini penting terlebih bila pada soal pilihan ganda terdapat berbagai pilihan jawaban yang beragam ordo matriks-nya.
Pastikan pilih jawaban yang ordo matriksnya sesuai syarat perkalian matriks.
Kemudian untuk aturan perkalian matriks mengikuti syarat di atas, perhatikan rumusan berikut ini:\[\begin{pmatrix} a &b \\ f &g \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c &d &e \\ h &i &j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a.c+b.h &a.d+b.i &a.e+b.j \\ f.c+g.h &f.d+g.i &f.e+g.j \end{pmatrix}\]
Kembali ke soal perkalian matriks di atas.
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2.2+(-3)(-1) &2.1+(-3).0 &2.3+(-3)2 \\ 3.2+1(-1) &3.1+1.0 &3.3+1.2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 4+3 &2+0 &6-6 \\ 6-1 &3+0 &9+2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Jadi,
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ -1 &0 &2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 7 &2 &0 \\ 5 &3 &11 \end{pmatrix}$
Determinan Matriks ordo 2x2
Diketahui matriks $P=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &2 \end{pmatrix}$ dan matriks $Q=\begin{pmatrix} 3 &2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$ . Tentukan Determinan dari matriks $(P.Q)$ !
Penyelesaian
Aturan dari determinan matriks berordo $2 x 2$ adalah sebagai berikut :
Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix}$ , maka $det(A)=\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} =ad-bc$
Kembali ke soal, kita perlu mengalikan terlebih dahulu matriks $P$ dengan matriks $Q$ menggunakan kaidah perkalian matriks sebelumnya, baru kemudian dicari determinannya.
Matriks $P.Q$ $=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 &2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1.3+2.1 &1.2+2.0 \\ 3.3+2.1 &3.2+2.0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{pmatrix}$
Jadi
$det(P.Q)=\begin{vmatrix} 5 &2 \\ 11 &6 \end{vmatrix}$
$=(5.6-11.2)$
$\displaystyle =8$
Invers Matriks ordo 2x2
Tentukan invers dari matriks $A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 4 &3 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Misalkan $A$ adalah matriks persegi. Invers dari matriks $A$ didefinisikan sebagai \[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)\]
Dengan $adj(A)$ adalah adjoint dari matriks $A$, yakni $adj(A)=\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$ jika matriks $A=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$.
Sehingga, \[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}\]
dengan syarat, nilai determinan tidak boleh nol.
Dari soal di atas, maka
$A^{-1}=\frac{1}{1.3-1.4}\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ -4 &1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{1.3-1.4}\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ -4 &1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 &1 \\ 4 &-1 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Kombinasi antara Invers Matriks ordo 2x2 dengan Perkalian Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 3 &4 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 &7 \end{pmatrix}$ . Tentukan hasil dari $A^{-1}B$
Menggunakan kaidah-kaidah di atas, maka
$A^{-1}B$
$=\frac{1}{(1.4-1.3)}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ -3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 &1 \\ 4 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} (-3)(0)+(1)(6) &(-3)(2)+(1)(7) \\ (4)(0)+(-1)(6) & (4)(2)+(-1)(7) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 6 &1 \\ -6 &1 \end{pmatrix}$
Invers Matriks ordo 3x3
Tentukan invers dari matriks $A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Misalkan diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$ .
Maka,
$det(A)$
$=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})$
- $(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})$
*) dengan $a_{xy}$ adalah elemen matrik baris ke-$x$ dan kolom ke-$y$. Sehingga misal $a_{23}$ artinya elemen matriks baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Dan
$adj (A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} & a_{13} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
Perhatikan bahwa, adjoint adalah transpos dari matriks kofaktor.
Contoh, jika $\begin{pmatrix} C_{11} &C_{12} &C_{13} \\ C_{21} &C_{22} &C_{23} \\ C_{31} &C_{32} &C_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-12 &24 \\ -12 &-3 &-6 \\ -4 &-1 &-18 \end{pmatrix}$
Maka \[adj(A)=\begin{pmatrix} 0 &-12 &-4 \\ -12 &-3 &-1 \\ 24 &-6 &-18 \end{pmatrix}\]
Maka \[adj(A)=\begin{pmatrix} 0 &-12 &-4 \\ -12 &-3 &-1 \\ 24 &-6 &-18 \end{pmatrix}\]
Kembali ke soal.
Dengan mensubstitusikan elemen matriks ke determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh data sebagai berikut:
$det(A)$
$=\begin{vmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{vmatrix}\begin{matrix} -3 &1 \\ 0 &2 \\ 4 &-2 \end{matrix}$
$=((-3)(2)(0)+(1)(-4)(4)+(2)(0)(-2))$
$-((4)(2)(2)+(-2)(-4)(-3)+(0)(0)(1))$
$=(-16)-(-8)$
$=-8$
Kemudian
$adj(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 &-4 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} 1 &2 \\ -2 &0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 2 &-4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &-4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 0 &-4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 0 &2 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &-\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 4 &-2 \end{vmatrix} &\begin{vmatrix} -3 &1 \\ 0 &2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
Jadi, dari data-data determinan dan adjoint matriks ordo $3x3$ tersebut diperoleh invers matriks ordo $3x3$ sebagai berikut.
$C^{-1}=\frac{1}{det(A)}\,adj(A)$
$=\frac{1}{-8}\begin{pmatrix} -8 &-4 &-8 \\ -16 &-8 &-12 \\ -8 &-2 &-6 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1 &0,5 &1 \\ 2 &1 &1,5 \\ 1 &0,25 &0,75 \end{pmatrix}$
Kofaktor Matriks
Tentukan kofaktor $C_{32}$ dari matriks $A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}$
Penyelesaian
Jika matriks minor $a_{ij}$ atau $\left | M_{ij} \right |$ menyatakan minor ke-$ij$ dari matriks $A$, maka kofaktor ke-$ij$ dari matriks $A$, dinyatakan dengan $C_{ij}$, dan didefinisikan sebagai berikut. \[C_{ij}=(-1)^{i+j}\left | M_{ij} \right |\]
Sehingga
$C_{32}=(-1)^{3+2}\left | M_{32} \right |=-\left | M_{32} \right |$
$=-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}$
$=-\begin{vmatrix} -3 &2 \\ 0 &-4 \end{vmatrix}$
$=-((-3)(-4)-(0)(2))$
$=-12$
Perhatikan :
$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
dan sesuaikan dengan soal
$A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}$
Atau lebih jelasnya \[A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} -3 &1 &2 \\ 0 &2 &-4 \\ 4 &-2 &0 \end{pmatrix}\]
Baca juga : Persamaan dan Fungsi Kuadrat.
