Kita akan belajar mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, menentukan fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.
Petunjuk
Rumus-rumus ditulis menggunakan $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup agar bisa me-loading kode $\LaTeX$ 100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page !
Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Puncak dan Satu Titik Lainnya
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik $( -1, 9 )$ dan melalui titik $(3, - 7)$ adalah ... .
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui titik puncak grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya menurut soal adalah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.
$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$
Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.
Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Nilai $m$ yang memenuhi agar grafik fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=x^{2}+mx+1$ menyinggung sumbu-$X$ adalah ...
Penyelesaian
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.
Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan memiliki nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.
Sebaliknya jika $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan memiliki nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
Secara geometri, hubungan nilai diskriminan dengan sumbu $X$ adalah sebagai berikut
- Jika $D>0$, maka grafik memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda
- Jika $D=0$, maka grafik menyinggung sumbu $X$ di sebuah titik
- Jika $D<0$, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu $X$
Oleh karena pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik memiliki nilai diskriminan nol.
Sehingga
$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$
Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$
Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Dua Titik Potong Terhadap Sumbu $X$ dan Satu Titik Lain
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu $X$ di titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ dan memotong sumbu -$Y$ di titik $\displaystyle (0,3)$
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusan berikut
$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi
$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$
Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga
$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.
Penerapan Fungsi Kuadrat
Lintasan sebuah peluru yang ditembakkan $h(t)$ vertikal ke atas setinggi $h$ meter dalam waktu $t$ detik dinyatakan dengan rumus $\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ . Tentukan tinggi maksimum peluru tersebut !
Penyelesaian
$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$
Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat memiliki peranan penting, salah satunya seperti pada soal.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.
Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.
Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu memiliki sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.
Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu
$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$
Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah $80$ meter.
